Title: C07 - Intégration

Q: Vrai ou faux
L'intégrale
\[\int_0^1\frac{1}{\sqrt{t}}dt\]
est impropre ?
A: Vrai, car la fonction à intégrer n'est pas continue (elle n'est même pas définie) en 0

Q: Vrai ou faux
L'intégrale
\[\int_1^2\frac{1}{\sqrt{t}}dt\]
est impropre ?
A: Faux, car la fonction à intégrer est bien continue sur \([1,2]\).

Q: Vrai ou faux
L'intégrale
\[\int_0^{+\infty}e^{-t}dt\]
est impropre ?
A: Vrai, une intégrale sur un intervalle infini est toujours impropre.

Q: Vrai ou faux
On considère la fonction définie sur \(]0,1]\) par
\[f(t)=t\ln(t) \]
L'intégrale
\[\int_0^1f(t)dt\]
est impropre ?
A: Vrai et faux : elle est impropre car elle n'est pas définie en 0. Mais elle est "faussement impropre" car elle est prolongeable par continuité en 0.

Q: Vrai ou faux (preuve ou contre exemple selon les cas)
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions positives définies et continues sur \([0,+\infty[\). On suppose que, pour tout \(x\geqslant 0\)
\[f(x)\leqslant g(x)\]
et que
\[\int_0^{+\infty}f(x)dx\]
converge. Alors
\[\int_0^{+\infty}g(x)dx\]
converge aussi.
A: Faux, ce n'est pas la bonne façon d'utiliser le théorème de comparaison.
On peut prendre comme contre exemple
\[f(x)=\frac{1}{x^2+1}\]
et
\[g(x)=\frac{1}{x+1}.\]
On a bien la bonne inégalité et la convergence de l'intégrale de \(f\). Mais l'intégrale de \(g\) diverge.

Q: Vrai ou faux (preuve ou contre exemple selon les cas)
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions positives définies et continues sur \([0,+\infty[\). On suppose que
[$$]f(x)=\petito{x\to+\infty}{g(x)}[/$$]
et que
\[\int_0^{+\infty}f(x)dx\]
converge. Alors
\[\int_0^{+\infty}g(x)dx\]
converge aussi.
A: Faux, ce n'est pas la bonne façon d'utiliser le théorème de comparaison.
On peut prendre comme contre exemple
\[f(x)=\frac{1}{x^2+1}\]
et
\[g(x)=\frac{1}{x+1}.\]
On a bien la bonne relation de négligeabilité et la convergence de l'intégrale de \(f\). Mais l'intégrale de \(g\) diverge.

Q: Vrai ou faux (preuve ou contre exemple selon les cas)
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions positives définies et continues sur \([0,+\infty[\). On suppose que
[$$]g(x)=\petito{x\to+\infty}{f(x)}[/$$]
et que
\[\int_0^{+\infty}f(x)dx\]
converge. Alors
\[\int_0^{+\infty}g(x)dx\]
converge aussi.
A: Vrai, c'est le théorème de comparaison.

Q: Vrai ou faux (preuve ou contre exemple selon les cas)
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies et continues sur \([0,+\infty[\). On suppose que, pour tout \(x\geqslant 0\)
\[f(x)\leqslant g(x)\]
et que
\[\int_0^{+\infty}g(x)dx\]
converge. Alors
\[\int_0^{+\infty}f(x)dx\]
converge aussi.
A: Faux, ce n'est pas un théorème de comparaison, il manque l'hypothèse de positivité des fonctions.
On peut prendre par exemple
\[g(x)=\frac{1}{x^2+1}\]
et
\[f(x)=-1\]
On a bien la bonne majoration et la convergence de l'intégrale de \(g\). Mais l'intégrale de \(f\) diverge.

Q: Cours
Quelle est la nature de l'intégrale
\[\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx ?\]
A: Convergente, c'est une intégrale de Riemann avec \(\alpha=1/2\) qui converge en 0.

Q: Cours
Quelle est la nature de l'intégrale
\[\int_1^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}dx ?\]
A: Divergente, c'est une intégrale de Riemann avec \(\alpha=1/2\) qui diverge à l'infini.

Q: Cours
Quelle est la nature de l'intégrale
\[\int_1^{+\infty}\frac{1}{x\sqrt{x}}dx ?\]
A: Convergente, c'est une intégrale de Riemann avec \(\alpha=3/2\) qui converge à l'infini.

Q: Cours
Quelle est la nature de l'intégrale
\[\int_0^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx ?\]
A: Divergente, c'est une intégrale de Riemann et toutes les intégrales de Riemann divergent sur \([0,+\infty[\). Celle-ci est divergente en 0.

Q: Cours
Quelle est la nature de l'intégrale
\[\int_0^{1}\frac{1}{x^2}dx ?\]
A: Divergente, c'est une intégrale de Riemann avec \(\alpha=2\) qui diverge en 0.

Q: Cours
Quelle est la nature de l'intégrale
\[\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx ?\]
A: Convergente, c'est une intégrale de Riemann avec \(\alpha=2\), impropre uniquement en \(+\infty\) et convergente.

Q: Cours
Corriger l'énoncé incomplet suivant.
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies et continues sur \([a,b]\). On suppose que, pour tout \(x\in[a,b]\)
\[f(x)\leqslant g(x).\]
Alors
\[\int_a^bf(x)dx\leqslant \int_a^bg(x)dx\]
A: Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies et continues sur \([a,b]\). On suppose que, pour tout \(x\in[a,b]\)
\[f(x)\leqslant g(x)\]
et que \(a<b\).
Alors
\[\int_a^bf(x)dx\leqslant \int_a^bg(x)dx\]

Q: Cours
Énoncer sans oublier d'hypothèses la relation de comparaison par négligeabilité pour les intégrales.
A: Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions positives définies et continues sur \([0,+\infty[\) (par exemple). On suppose que
[$$]f(x)=\petito{x\to+\infty}{g(x)}[/$$]
et que
\[\int_0^{+\infty}g(x)dx\]
converge. Alors
\[\int_0^{+\infty}f(x)dx\]
converge aussi.

Q: Cours
Énoncer sans oublier d'hypothèses la relation de comparaison par majoration dans les intégrales.
A: Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions positives définies et continues sur \([0,+\infty[\) (par exemple). On suppose que, pour tout \(x\in[0,+\infty[\)
\[f(x)\leqslant g(x)}\]
et que
\[\int_0^{+\infty}g(x)dx\]
converge. Alors
\[\int_0^{+\infty}f(x)dx\]
converge aussi.

Q: Cours
Énoncer sans oublier d'hypothèse la relation de comparaison par équivalence pour les intégrales.
A: Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions positives définies et continues sur \([0,+\infty[\) (par exemple). On suppose que
[$$]f(x)=\dsim_{x\to+\infty}g(x).[/$$]
Alors les intégrales
\[\int_0^{+\infty}f(x)dx\]
et
\[\int_0^{+\infty}g(x)dx\]
sont de mêmes natures (soit elles convergent toutes les deux, soit elles divergent toutes les deux).

Q: Méthode
À quoi sert la relation de Chasles dans l'étude de la convergence des intégrales ?
A: Elle sert à "séparer les problèmes" : si une intégrale
\[\int_0^{+\infty}f(t)dt\]
est doublement impropre en 0 et \(+\infty\) par exemple, on peut étudier sa convergence en 0 et en \(+\infty\) séparément. La relation de Chasles dit par exemple que
\[\int_0^{+\infty}f(t)dt\]
converge si et seulement si
\[\int_0^{1}f(t)dt\hspace{3mm}\mbox{et}\hspace{3mm}\int_1^{+\infty}f(t)dt\]
convegent. La séparation en 1 est arbitraire.

Mini exercice
Besoin de brouillon
Calculer
\[\int_1^e\dfrac{\ln(t)}tdt\]

Mini exercice
Besoin de brouillon.
Calculer
\[\int_0^n x \lfloor x \rfloor dx.\]

Mini exercice
Besoin de brouillon.
Calculer
\[\int_0^1\sqrt{1+4u} du.\]

Mini exercice
Besoin de brouillon.
Calculer
\[\int_0^1xe^x dx.\]

Q: Mini exercice
Trouver une primitive de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[f(x)=\frac{e^x}{1+e^x}.\]
A: On peut prendre par exemple
\[F(x)=\frac{1}{1+e^x}.\]

Q: Mini exercice
Donner toutes les primitives d'une fonction qui s'écrit sous la forme
\[f(x)=u'(x)e^{u(x)}\]
A: Les primitives sont données par les fonctions
\[F(x)=e^{u(x)}+c\]
où \(c\in\mathbb{R}\).

Q: Mini exercice
Comment se dérive une fonction qui s'écrit sous la forme
\[f(x)=\ln(u(x)).\]
A: \[f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.\]

Q: Mini exercice
Trouver toutes les primitives d'une fonction qui s'écrit sous la forme
\[f(x)=u(x)u'(x).\]
A: Les primitives sont toutes les fonctions
\[F(x)=\frac{u(x)^2}{2}\]

Q: Cours
Quelle condition faut-il pour réaliser une IPP ?
A: Il faut vérifier (et écrire !) que les deux fonctions \(u\) et \(v\) sont de classe \(\mathcal{C}^1\).